Avvalgi maqolada xaritalarning asl voqeʼlik bilan nomuvofiqliklari haqida suhbatlashgan edik. Maʼlum boʻldiki, proyeksiyalashdagi nisbatlarning proporsionalligiga faqat ekvatorda aniq rioya qilinar ekan. Shu sababli Merkator xaritalarida shimoliy va janubiy qutbga yaqin joylashgan geografik obyektlar aslidagidan koʻra kattaroq taassurot uygʻotadigan tarzda ifodalanar ekan.
Lekin geografik obyektlarning xaritada nomuvofiqliklar bilan ifodalanishi Merkator proyeksiyasidagi yagona gʻalati jihat emas. Undan ham qizigʻi shuki, geometriya oʻqituvchingiz zoʻr berib uqtirgan qonunni inkor etgan holda Merkator xaritalarida ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofa toʻgʻri chiziq boʻlmaydi! Ha, bu haqiqatan ham shunday. Ishonmayotgan va nima uchun bundayligiga qiziqayotgan boʻlsangiz, ushbu maqolani ham erinmay oʻqib chiqishni tavsiya qilamiz.
Xaritadagi qisqa yoʻl toʻgʻri chiziq boʻlmasligining birinchi sababi — Yerning shar shaklida ekanidandir. Shar sirtini esa (hatto uning maʼlum bir kichik qismini ham) tekislikda toʻliq ifodalashning iloji yoʻq. Baribir biror joyini buklashga yoki qirqib, yoyishga toʻgʻri keladi. Shu sababli ham har qanday xaritada muayyan nomuvofiqliklar albatta mavjud boʻladi.
Biz foydalanadigan oddiy xaritalarda parallellar ham, meridianlar ham toʻgʻri chiziq orqali ifodalanadi. Aynan shu narsa xaritalarda eng qisqa yoʻlni tanlash borasida chalgʻituvchi yanglishliklarni keltirib chiqaradi. Keling, aniq misollarga murojaat etsak.
Quyidagi xaritada Toshkent va Lissabon orasidagi masofani toʻgʻri chiziq boʻyicha va egri chiziq — yoy boʻyicha oʻlchangandagi farqi yaqqol ifodalangan:
Xarita miqyosidan kelib chiqib, chizgʻich va oddiy arifmetika orqali maʼlum boʻlishicha, Toshkent va Lissabon orasidagi masofani xaritada toʻgʻri chiziq boʻylab oʻlchansa, u ≈6675 km boʻlib chiqar ekan. Ayni damda onlayn xaritaning oʻzi, yaʼni gugl-xarita servisi egri chiziq boʻylab olingan masofani ≈6443 km ekanini koʻrsatib turibdi. Yaʼni xarita bizni naq ≈232 kmga chalgʻitmoqda ekan.
Yana bir misol. Margʻilon shahri va Perudagi qadimiy Machu-Pikchu shahri orasidagi masofa xaritada toʻgʻri chiziq boʻyicha ≈16000 kmni tashkil qilarkan. Eng qisqa yoʻl esa quyidagi xaritada koʻrsatilgandek, yoy shaklida boʻlib, ≈15449 kmni tashkil qilmoqda.
Bunda ham xarita bizni naq ≈500 kmga chalgʻitmoqda. Keling, endi bizni chalgʻitayotgan tafsilotlarga chuqurroq nazar solamiz:
Sharning sirtida ikki nuqta orasidagi eng qisqa yoʻl ularni oʻzaro tutashtiruvchi yoy boʻlib, u yoy albatta katta aylanaga tegishli boʻlishi kerak. Katta aylana deganda markazi shar markazi bilan ustma-ust tushadigan aylana nazarda tutiladi. Markazi shar markazi bilan mos tushmaydigan har qanday aylana kichik aylana deyiladi. Katta aylananing yoyi kichik aylananing yoyidan koʻra kamroq egrilangan, yaʼni nisbatan tekisroq boʻladi.
Boshqacha qilib aytganda kattaroq aylana va kichikroq aylanalarning har biridan bir xil burchak koʻrsatkichiga ega boʻlgan yoylari olinsa, masalan, 20° dan yoy olinsa, katta aylananing yoyi toʻgʻri chiziqqa koʻproq yaqinroq boʻladi. Kichik aylaning yoyi esa ancha egriroq boʻladi.
Xaritada ekvatordan boshqa hamma parallellar albatta kichik aylanalar boʻladi. Shu sababli ham xaritalarda shaharlar orasidagi masofani belgilashda toʻgʻri chiziq emas, ushbu shaharlar orqali oʻtadigan katta aylananing shu shaharlar bilan chegaralangan yoyi eng qisqa yoʻl boʻladi. Buni tekshirish uchun miqyosi aniq koʻrsatilgan xarita va globus olib, bir kichik tajriba oʻtkazib koʻrishingiz mumkin.
Yaʼni xaritada istalgan ikki shaharni olib, ular orasidagi masofani ip tortib, yaʼni toʻgʻri chiziq bilan oʻlchab olasiz. Endi xuddi shu shaharlar orasidagi masofani globus orqali ular orasiga ip tortib globus sirti boʻylab oʻlchab koʻrasiz. Xaritangiz va globusingizning miqyoslaridan kelib chiqib arifmetik hisoblashlarni bajarib koʻrsangiz, haqiqatan ham qisqa yoʻl — yoy ekaniga amin boʻlasiz.
Arifmetik hisob-kitoblarga erinmaydigan oʻquvchi quyida keltiriladigan unchalik qiyin boʻlmagan geometrik hisoblashlar orqali masalaning matematik mohiyatini toʻliqroq tushunib olishi mumkin.
Keling, hisoblash uchun 60° kenglikda joylashgan ikkita shahar orasidagi masofani olamiz (bunday shaharlar haqiqatan bormi, yoʻqmi, shunchaki hisob kitob uchun buni ahamiyati yoʻq). Shaharlarni shartli ravishda A va B shaharlar deb belgilaymiz (rasmga qarang). Yer markazini O bilan belgilaymiz. Shunda A va B shaharlar orqali oʻtgan yoy, geometriya qoidalariga koʻra, AB yoy deb belgilanadi. Shaharlar oʻzaro 60° yoy masofada joylashgan. Shaharlar joylashgan kenglik aylanasi, yaʼni parallel aylanasi markazi C nuqta.
Endi shunday tasavvur qilamizki, markazi Yer markazi, yaʼni O nuqtada boʻlgan va A va B nuqtalar orqali oʻtuvchi katta aylana oʻtkazilgan. Uning radiusi R=OB=OA boʻladi. Mazkur katta aylana yuqoridagi rasmda koʻrsatilgan AB yoy yaqinidan oʻtadi, lekin u bilan aniq ustma-ust tushmaydi.
Endi yoylarning uzunliklarini hisoblab topamiz. A va B nuqtalar 60° kenglikda joylashgani sababli OA va OB radiuslar OC bilan (Yer shari oʻqi bilan) 30° burchak hosil qiladi. ACO toʻgʻri burchakli uchburchakning 30° burchagi qarshisida yotuvchi AC katet (=r) uzunligi AO gipotenuzaning yarmiga teng.
Yaʼni r=R/2. AB yoyning uzunligi ushbu yoy mansub boʻlgan kenglik aylanasi uzunligining 1/6 qismiga teng. Mazkur kenglik aylana uzunligi esa A va B nuqtalardan oʻtuvchi katta aylana uzunligiga nisbatan ikki barobar kichik boʻladi. Shunga koʻra, uning radiusi ham ikki barobar qisqaroq boʻladi. Natijada kichik aylanadagi AB yoy uzunligi
ga teng boʻladi.
A va B nuqtalar orqali oʻtuvchi katta aylananing shu nuqtalar bilan chegaralangan yoyining uzunligini topish uchun AOB burchakning kattaligini aniqlash zarur. Eslatib oʻtamiz, aynan ushbu yoy mazkur nuqtalar orasidagi eng qisqa masofa boʻladi. Kichik aylanadagi 60° lik yoyni ajratib turgan AB vatar ayni paytda mazkur kichik aylanaga ichki chizilgan muntazam oltiburchakning tomonlaridan biri ham boʻladi.
Shunga koʻra, AB=r=R/2 boʻladi. AB vatarning qoq oʻrtasida D nuqtani belgilab, u bilan Yer shari markazi, yaʼni O nuqtani tutashtiruvchi OD toʻgʻri chiziq oʻtkazsak, bizda ODA toʻgʻri burchakli uchburchak hosil boʻladi. Uning D burchagi 90° ga teng. Shunga koʻra, DA=1/2AB va OA=R boʻladi.
Demak,
Sinusning 0,25 qiymatiga 14°28ʼ5″ toʻgʻri keladi. Demak, burchak AOD=14°28ʼ5″, bundan burchak AOD=28°57ʼ.
Ushbu hisoblashlarga asoslanib, eng qisqa masofaning kilometrda ifodalangan qiymatini topish qiyin emas. Agar katta aylana boʻylab 1ʼ yoy uzunligi bu bir dengiz miliga teng ekanini inobatga olsak, hisoblashlar yanada osonlashadi. Yodingizda boʻlsa, bir dengiz mili bu — meridian aylanasining 1ʼ yoyi uzunligi boʻlib, u 1852 metrga teng. Shunga asoslanadigan boʻlsak, 28°57ʼ=1737ʼ=1737×1852≈3217 km.
Hisoblashlarimiz yaqqol koʻrsatib turibdiki, A va B shaharlar orasidagi masofa kenglik aylanasining yoyi boʻylab oʻlchansa, (yaʼni oddiy kartalarda toʻgʻri chiziq boʻylab oʻlchansa) u 3333 km boʻlib chiqmoqda. Katta aylana yoyi boʻylab oʻlchangan masofa esa undan naq 116 kmga qisqa ekani maʼlum boʻldi.
Qoʻlingizga ip olib, globus orqali ushbu hisob-kitoblarni tekshirib koʻrishingiz mumkin va ularning toʻgʻriligiga ishonch hosil qilasiz.
Yuqorida keltirilgan sabablarga koʻra, oddiy xaritalarda toʻgʻri chiziq boʻylab chamalangan masofadan koʻra katta aylana yoyi boʻylab olingan masofa qisqaroq boʻladi. Ushbu masofalarni xaritashunoslar loksodroma va ortodroma deb ataydilar.
Loksodroma — parallel yoy boʻylab olingan masofa, yaʼni xaritadagi toʻgʻri chiziq boʻylab olingan masofa. Ortodroma esa katta aylana yoyi boʻylab olingan masofa, yaʼni shar yuzasidagi eng qisqa masofa boʻladi.
Aynan shu tafsilotlar tufayli Afrikaning Yaxshi Umid burni va Avstraliya janubidagi port orasidagi dengiz yoʻli, xaritada koʻrsatilganidek, toʻgʻri chiziq boʻylab olinsa, 11150 km, ortodroma boʻylab esa 10052 kmni tashkil etadi. Koʻrib turganingizdek, masofa oz emas, koʻp emas, naq 1100 km atrofida farq qilmoqda.
Xuddi shunga oʻxshash, agar Londondan Shanxayga havo yoʻlini xaritada toʻgʻri chiziq boʻylab tortsak, u Kaspiy dengizi va oʻrta Osiyo mamlakatlari orqali oʻtishi kerak boʻladi. Aslida esa London-Shanxay reyslari Shimoliy Yevropa — Skandinaviya mamlakatlari boʻylab Sankt-Peterburgdan ham shimolroqdan uchadi.
Dengiz yoʻllarida ortodroma boʻylab suzishning imkoni doim ham boʻlavermaydi. Chunki ortodroma boʻylab olingan yoʻlga qandaydir orollar yoki aylanib oʻtish lozim boʻlgan boshqa omillar toʻgʻri kelib qolishi mumkin. Baʼzida ortodroma boʻylab olingan yoʻl shunchaki quruqlik ichkarisiga kirib ketadi va kemalarga bu yoʻl boʻylab suzishning umuman iloji boʻlmaydi.
Masalan, yuqoridagi xaritadagi misol, yaʼni Afrika va Avstraliyaning janubiy qirgʻoqlaridagi portlar orasidagi dengiz yoʻlida ortodroma Antarktidaning muzqoyalari toʻla boʻlgan janubiy Hind okeani chetlariga borib qolmoqda. Qolaversa, ortodroma boʻylab suzish kema jamoasi uchun ham koʻplab noqulayliklarni keltirib chiqaradi. Xususan, bunday suzishda kursni doimiy oʻzgartirib turish talab etiladi. Havo transporti borasida ham xuddi shunday omillarni keltirish mumkin.
Lekin ortodroma boʻylab harakatlanish imkoni boʻlgan oʻrinlarda bu yoʻl avvalo masofadan, yaʼni vaqtdan juda katta tejash imkonini beradi. Qisqa masofa boʻylab harakat esa oʻz navbatida yoqilgʻini tejash ham demakdir.
Xaritalarda ortodroma va loksodroma ustma-ust tushishining ham albatta imkoni mavjud. Yaʼni tanlangan yoʻl bir vaqtning oʻzida ham loksodroma, ham ortodroma boʻladi.
Bu faqat xarita toʻgʻri chiziq boʻylab ifodalangan meridianlar boʻylab suzishda yoki ekvator boʻylab suzishdagina imkonli boʻladi. Boshqa hamma holatlarda loksodroma, garchi xaritada toʻgʻri chiziq boʻlib, qisqaroq koʻrinsa-da, aslida har safar ortodromadan kattaroq boʻladi.
Maqola orbita.uz saytidan olindi. Original maqola → «Ko‘zlaringga ishonma» turkumidan: Yerdagi va xaritadagi eng qisqa yo‘l qaysi?
Muqova surat: orbita.uz
