Ko’phadning ildizi . Bezu teoremasi. Gorner sxemasi
Reja:
Ko’phadning ildizi
Bezu teoremasi
Gorner sxemasi
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0 ko’phad berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Agar x o’zgaruvchining biror a qiymatida f(x) ko’phadning qiymati nolga aylansa, bu a soni f(x) ko’phadning ham ildizi deyiladi.
f(x) ko’phadning ildizlarini aniqlash uchun uni nolga tenglashtirib yechish kerak.Bu tenglamaning ildizlari f(x) ko’phadning ham ildizlari bo’ladi.
1-misol f(x)=x4-13x2+36 ko’phadning ildizlarini toping.
Yechish. x4-13x2+36 x4-4x2 -9x2+36=0 (x2-4)(x2-9)=0. Bu tenglama ikkita tenglamaga ajraladi:
1) x2-4=0 (x-2)(x+2)=0
2) x2-9=0 (x-3)(x+3)=0
Berilgan ko’phadning ildizlari: -3;-2;2;3 bo’ladi.
2-misol. f(x)=2x5+x4-10x3-5x2+8x+4=0 ko’phadning ildizlarini toping.
Yechish. 2x5+x4-10x3-5x2+8x+4=0 tenglamani yechamiz.
2x5-4x4+5x4-10x3-5x2+10x-2x+4=0
2x4(x-2)+5x3(x-2)-5x(x-2)-2(x-2)=0
(x-2)(2x4+5x3-5x-2)=0
(x-2)[2x4+2x3+3x3+3x2-3x2-3x-2x-2]=0
(x-2)(x+1)(2x3+3x2-3x-2]=0
(x-2)(x+1)(x-1)(2x2+5x+2)=0
(x-2)(x+1)(x-1)(2x+1)(x+2)=0
x1=-0,5 ; x2=-2 ;x3=-1; x4=2.
Shunday qilib, berilgan ko’phadning ildizlari -0,5 ; -2 ;-1; 2 bo’ladi.
Bezu teoremasi. f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0 (a0) ko’phadni x-a ikkihadga bo’lishdan chiqqan qoldiq ko’phadning x=a bo’lgandagi qiymatiga teng:
r = f(a) =
Natija. f(x) ko’phad x-a ga bo’lingandagina va shundagina a soni f(x) ko’phadning ildizi bo’ladi.
Misol. f(x)= x3-1 ko’phad x=1 ga bo’linadi. Chunki x=1 soni f(x)= x3-1 ko’p-hadning ildizi bo’ladi, ya’ni, f(1)=0
f(x) ko’phadning ildizlarini izlash uning xa ko’rinishidagi chiziqli bo’luvchilarini topish bilan teng kuchlidir.
Misollar:
1) x2-a2 ikkihad x-a ga ham, x+a ga ham bo’linadi;
2) x2+a2 ikkihad x-a ga ham, x+a ga ham bo’linmaydi;
3) x3-a3 ikkihad ikkihad x-a ga ham, x+a ga ham bo’linmaydi;
Gorner sxemasi. fx)=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0 ko’phadni x- ikkihadga bo’lishdagi qoldiqni hisoblashning Gorner (Xorner Uilyam (1786-1837) – ingliz matematigi) sxemasi deb ataluvchi usulini ko’rsatamiz.
f(x)=q(x)(x-a)+r (1) bo’lsin.
Bunda q(x)= b0xn-1+b1xn-2+b2xn-3+…+bn-1.
(1) dagi x ning bir xil darajalari oldidagi koejjitsiyentlarni tenglashtirib quyidagiga ega bo’lamiz:
a0=b0
a1=b1-b0
a2=b2-b1
…
an-1=bn-1-bn-2
an=r — bn-1
bundan ko’rinadiki, b0=a0, bk=bn-1 +ak, k=1,2,3,…, n-1, r=-bn-1.
Bo’linma va qoldiqni hisoblash quyidagi jadval yordamida topiladi.
a0 | a1 | an-2 | … | an-1 | an | |
b0+a1 | b1+a2 | … | bn-2+an-1 | bn-1+an | ||
b0= a0 | b1 | b2 | bn-1 | r |
Bu sxema Gorner sxemasi deyiladi.
1-misol. x3+4x2-3x+5 ko’phadni Gorner sxemasidan foydalanib, x-1 ga bo’lishni bajaring.
1 | 4 | -3 | 5 | |
1 | 1 | 5 | 2 | 7 |
Demak, x3+4x2-3x+5=(x-1)(x2+5x+2)+7.
Bezu teoremasidan f(x) ko’phadni ax+b ko’rinishdagi ikkihadga bo’lishda hosil bo’ladigan r qoldiq f ga teng bo’lishi kelib chiqadi.
2-misol. P(x)= x3-3x2+5x+7 ni 2x+1 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping.
Yechish. Qoldiq r=P ga teng.
3-misol. P4(x) = x4+x3+3x2+2x+2 ko’phadni x-1 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping
Bezu teoremasiga asosan:
P4(1) = 1+1+3+2+2 = 9
4-misol: P2(x) = x3+2x2+x-a2 ko’phadni x-2 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiq 8 ga teng bo’lsa, ani toping.
P2(2) = 23+42+2-a2= 8
a2=10
a= —
a=
Javob: a=
5-misol: P5(x)= 2x5 –x4-3x3+x-3 ni x-3 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping.
P5(x) = (x-3) (2x4+5x3+12x2+36x+109) + 324
2 | -1 | -3 | 0 | 1 | -3 | |
3∙2 | 3∙5 | 3∙12 | 3∙36 | 3∙109 | ||
C=3 | 2 | 5 | 12 | 36 | 109 | 324 |
Teorema . Agar soni P(x) ko’phadning ildizi bo’lsa, P(x) ko’phad x- ikki- hadga qoldiqsiz bo’linadi.
Tayanch iboralar: ko’phad, ildiz, Bezu, Gorner
Nazorat savollari:
Ko’phadni qoldiqli bo’lish
Bezu teoremasi
Gorner sxemasi
Topshiriqlar
1-misol. F(x)=2x5+x4-10x3-5x2+8x+4 ko’phadning ildizlarini toping.
2-misol. F(x)=x4-13x2+36 ko’phadning ildizlarini toping.
3-misol. Gorner sxemasidan foydalanib, f(x) ko’phadning x=a nuqtadagi qiymatini toping.
1) f(x)=; 2) f(x)=; 3) f(x)=
Nazorat savollari:
Kasrlarni qisqartiring:
m i s o l.
ifodani soddalashtiring.
Y e c h i s h. Berilgan ifodani amal bosqichlari va ularni bajarish qoidalariha roiya qilib soddalashtiramiz:
5-m i s o l. ifodani soddalashtiring.
Y e c h i s h. a > 0 bo’lganda a-r = (0 < r є Q) munosabatdan foydalanib, berilgan ifodani soddalashtiramiz:
1) 1 + — +
Foydalanilgan adabiyotlar:
“ Algebra va analiz asoslari ” R. H. Vafoyev. 349 bet,
A. Abduhamidov “Algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar to’plami” 48-52 betlar.
A. Abduhamidov “Algebra va matematik analiz asoslari”
A. Meliqulov “Matematika” I-qism 89-93 betlar
P3(x) = x3-3x2+5x +7 ni 2x+1 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping.
P(x) ko’phad D(x) ko’phadni bo’linadimi
a) P(x) = x100 –3x+2 D(x) = x-1
b) P(x) = x100 –3x+2 D(x) = x+1
c) P(x) = x100 –3x+2 D(x) = x2-1
m ning qanday qiymatlarida 3x3-4x2-m2x-2 ko’phad x-2 ga qoldiqsiz bo’linadimi
m ning qanday qiymatlarida 3x3-4x2-mx-1 ko’phad x+1 ga bo’linmaydi.
